soit `phi` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par `phi(t)= (2t)/(1+t) -ln(1+t)`

1 Etudier les variations de `phi` et en déduire qu'il existe un unique ` alpha in ]3,4[` tel que `phi(alpha)= 0 `

2 soit `f` la fonction numérique définie sur `[0,+infty[` par :

` f(x)= (ln(1+x^2))/x text{ si } x > 0 `

` f(0) = 0 `

`C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

a Montrer que `f` est dérivable à droite en `0`

b Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe `C_f`

cMontrer que `f` est dérivable sur `]0,+infty[` et que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= (phi(x^2))/x^2`

dEtudier les variations de la fonction `f` puis tracer la courbe `C_f`